AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (02)

Recordando Operações

O fator responsável pelo maior número de erros nos desenvolvimentos de exercícios matemáticos é sem dúvida nenhuma a "regra de sinais".

Além disso a regra de sinais pode ser considerada um dos fatores mais importantes na matemática. Mas para entendermos como ela funciona, temos que ter bem assimilado como funcionam as quatro operações básicas desta disciplina.

- Adição

- Subtração

- Multiplicação

- Divisão

Você sabe como essas operações são feitas? E quando devemos utilizá-las na solução de um problema?

Muita gente pensa, que quem faz contas com rapidez é boa em matemática.

É engano! Fazer contas rapidamente é uma habilidade que se adquire com a prática. Muito mais importante que fazer contas com rapidez é descobrir quais são as operações que devemos usar para resolver um problema. Portanto, em matemática, o mais importante é o raciocínio.

Para começar, leia os quatro problemas abaixo e tente descobrir quais são as contas que devem ser feitas.

a) Um motorista de táxi andou 180 km em certo dia e 162 km no dia seguinte.

No total, quanto ele andou nesses dois dias?
180+162 =342

b) Uma mercadoria que custa R$37,00 foi paga com uma nota de R$50,00. De quanto foi o troco?             50,00 - 37,00 = 13,00

c) Uma caixa de leite tipo “longa vida” possui 16 litros de leite. Quantos litros existem em 12 caixas?  16 x 12 = 192

d)Devo repartir 24 balas igualmente entre meus três filhos. Quantas balas deve receber cada um?  24 : 3 = 8

Em todos os exemplos desta aula, usaremos apenas números inteiros. Eles são os nossos conhecidos 0, 1, 2, 3,... E também os negativos - 1, - 2, - 3,... .

A adição

Podemos pensar na operação de adição quando queremos juntar as coisas que estão separadas.

Exemplo 1:

Em uma pequena escola, existem 3 turmas: uma com 27 alunos, outra com 31 alunos e outra com 18 alunos. Quantos alunos existem ao todo nessa escola?

Para reunir os alunos das 3 turmas, devemos somar a quantidade de alunos de cada turma. A operação que devemos fazer é:

27 + 31 + 18 = 76

Existem, portanto, 76 alunos nessa escola. Cada um dos números de uma soma chama-se parcela. Na operação de adição, podemos somar as parcelas em qualquer ordem. Por isso, temos certeza de que 18 + 27 + 31 também dá 76.

Devemos ainda lembrar que números negativos também podem ser somados.

Por exemplo, a soma de - 12 com - 5 dá - 17. Para escrever essa operação fazemos assim:

- 12 + (- 5) = - 17

Observe que colocamos - 5 entre parênteses para evitar que os sinais de + e de - fiquem juntos. Mas existe outra maneira, mais simples, de escrever a mesma operação. Veja:

- 12 - 5 = - 17

A subtração

Podemos pensar na operação de subtração quando queremos tirar uma quantidade de uma outra para ver quanto sobra. Veja o exemplo.

Exemplo 2

Uma secretária recebeu a tarefa de preparar 90 envelopes de correspondência. Até a hora do almoço, ela já tinha feito 52. Quantos ela ainda tem de fazer?

Temos aqui um exemplo claro de operação de subtração. A operação que devemos fazer é:

90 - 52 = 38

Assim, depois do almoço, a secretária deverá preparar ainda 38 envelopes.

Observe agora que, em uma subtração, quando o segundo número é maior que o primeiro, o resultado é negativo. Veja:

9 - 5 = 4

5 - 9 = - 4

Para visualizar as operações de adição e subtração, representamos os números inteiros como pontos de uma reta.

Na operação 9 + 5 = 14, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a direita e chegamos ao número 14.

Na operação 9 - 5 = 4, partimos do número 9, andamos 5 unidades para a esquerda e chegamos ao número 4.

Na operação 5 + 9 = 14, partimos do número 5, andamos 9 unidades para a direita e chegamos ao número 14.

Na operação 5 - 9 = - 4, partimos do número 5, andamos 9 unidades para a esquerda e chegamos ao número - 4.

Para resumir, as regras são as seguintes:

- Escrever 5 ou + 5 é a mesma coisa.

- Quando sinais de números e sinais de operações aparecerem juntos, então:

Regras: Exemplos:

(+) e (+) = (+) 5 + (+ 3) = 5 + 3 = 8

(+) e (- ) = (- ) 5 + (- 3 ) = 5 - 3 = 2

(- ) e (+) = (- ) 5 - (+ 3) = 5 - 3 = 2

(- ) e (- ) = (+) 5 - (- 3 ) = 5 + 3 = 8

Veja, a seguir, como devemos proceder numa situação em que há soma e subtração de diversos números.

Exemplo 3

João abriu uma conta bancária. Depois de algum tempo, essa conta apresentou o seguinte movimento:

Qual será o saldo de João após essas operações?

Vamos representar os depósitos por números positivos e as retiradas por números negativos. Devemos então fazer a seguinte conta:

53 - 25 + 65 - 30 - 18

O resultado dessa operação será a quantia que João ainda tem no banco. A melhor forma de fazer esse cálculo é somar os números positivos (os depósitos), somar os números negativos (as retiradas) e depois subtrair o segundo resultado do primeiro. Assim:

53 - 25 + 65 - 30 - 18 =

(53 + 65) - (25 + 30 + 18) = 118 -73 = 45

Portanto, João ainda tem R$ 45,00 em sua conta bancária.

A multiplicação

A multiplicação nada mais é que uma soma com parcelas iguais. Por exemplo:

7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 5. 7 = 35

O número 7 apareceu 5 vezes. Então, 7 vezes 5 dá 35. Da mesma forma:

5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 7 . 5 = 35

Agora, o número 5 apareceu 7 vezes. Então 5 vezes 7 dá 35. Você já sabe que, em uma multiplicação cada número chama-se fator.

Vamos, agora, recordar algumas propriedades da multiplicação.

1) Na multiplicação, a ordem dos fatores não altera o resultado. Por isso:

5 . 7 = 7 . 5

2) Quando temos várias multiplicações seguidas, qualquer uma delas pode ser feita primeiro. Por exemplo:

2 . 3 . 5 = (2 . 3) . 5 = 6 . 5 = 30

2 . 3 . 5 = 2 . (3 . 5) = 2 . 15= 30

2 . 3 . 5 = (2 . 5) . 3 = 10 . 3= 30

3) Quando um número multiplica uma soma, ele multiplica cada parcela dessa soma. Por exemplo:

2.(3 + 4 + 5) = (2.12) = 24 Ou, ainda:

2.(3 + 4 + 5) = (2 . 3) + (2 . 4) + (2 . 5) = 6 + 8 + 10 = 24

Falta apenas recordar o que ocorre quando temos multiplicações com números negativos. As regras são as seguintes:

(+) . (- ) = (- )

(- ) . (+) = (- )

(- ) . (- ) = (+)

Vamos ver alguns exemplos para entender bem essas regras.

Para calcular 4 . (- 3) podemos fazer uma soma com 4 parcelas iguais a - 3.

Daí:

4 . (- 3) = (- 3) + (- 3) + (- 3) + (-3)

4 . (- 3) = - 3 - 3 - 3 - 3

4 . (- 3) = - 12

Para entender que o produto de dois números negativos é positivo vamos lembrar que o produto de qualquer número por zero dá zero. Portanto:

(- 3) . 0 = 0

Vamos então escrever essa igualdade assim: (- 3) . (- 2 + 2) = 0

É a mesma coisa. A igualdade continua certa. Mas, utilizando uma das propriedades da multiplicação, podemos escrever a mesma coisa de forma ainda diferente. Veja:

Ora, sabemos que (- 3) . 2 dá - 6. Logo, devemos ter (- 3) . (- 2) = 6 para que a soma seja zero.

A divisão

Podemos pensar na divisão quando queremos dividir um total de partes iguais ou quando queremos saber quantas vezes um número cabe no outro.

Exemplo 4

Desejamos colocar 80 lápis em 5 caixas, de maneira que todas as caixas tenham o mesmo número de lápis. Quantos lápis devemos pôr em cada caixa?

A resposta é fácil. Basta dividir 80 por 5.

80/5 = 16

Logo, cada caixa deve conter 16 lápis.

No exemplo que acabamos de ver, a divisão foi exata ou seja, conseguimos colocar a mesma quantidade de lápis em cada caixa sem que sobrasse nenhum.

O que aconteceria, entretanto, se tivéssemos 82 lápis para pôr nas 5 caixas? Á resposta é fácil. Cada caixa continuaria com 16 lápis, mas sobrariam 2.

Veja a operação:

Na operação acima, 82 é o dividendo, 5 é o divisor, 16 é o quocientee 2 é o resto. Esses quatro números se relacionam da seguinte forma:

Atenção! O resto é sempre positivo e menorque o divisor.

Ao fazer uma divisão, estaremos sempre encontrando dois novos números: o quociente e o resto. Vamos ver mais um exemplo do uso dessa operação em um problema.

Exemplo 5

Certo elevador pode transportar no máximo 6 pessoas. Se existem 46 pessoas na fila, quantas viagens o elevador deverá fazer para transportar todas essas pessoas?

Devemos dividir 46 por 6. Observe a operação:

O quociente igual a 7 indica que o elevador fará 7 viagens com lotação completa.

Mas o resto igual a 4 indica que sobrarão ainda 4 pessoas para serem transportadas. Logo, o elevador deverá fazer uma viagem a mais para transportar as 4 pessoas restantes. Portanto, o elevador fará 8 viagens para transportar todas as pessoas.

ATIVIDADE COMPLEMENTAR

Efetue as operações indicadas:

(Atualizado)  Respostas dia 13/04/2013

a) 37 + 43 = 80

b) 55 - 18 = 37

c) 18 - 55 = -37

d) 12 + (- 7) = 5

e) 12 - (- 7) = 19

f) - 9 - 6 = -15

g) - 9 + (- 6) = -15

h) - 9 - (- 6 ) = -3

i) 13 .7 = 91

j) (- 8). 9 =  -72

l) (7 - 3).4 = 16

m) (3 - 8) . (- 4) = 20

AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS (01)

As Quatro Operações fundamentais da Aritmética e sua nomenclatura.

           A aritmética é a base de toda a matemática. Sem ela, a álgebra e a geometria seriam inviáveis. Por ser a base, ela é feita toda com os números naturais, aqueles que aprendemos naturalmente quando crianças.

A potenciação e a radiciação também fazem parte da aritmética, mas hoje falaremos apenas das quatro operações fundamentais.

O que é adição, subtração, multiplicação e divisão? Quais os nomes dos termos dessas operações? Como chamamos o resultado de cada uma dessas operações? O que é prova real? Como fazemos a prova real de cada uma das operações fundamentais?

 

ADIÇÃO

É a operação de juntarduas ou mais quantidades

- O sinal da adição é o +

- As parcelassão os termos da adição

- A soma ou total é o resultado da adição

- O 235 é a primeira parcela

- O 124 é a segunda parcela

- O 359 é soma ou total

Não esquecer:

Para efetuar a operação de adição, colocamos sempre:

- Unidade embaixo de unidade;

- Dezena embaixo de dezena;

- Centena embaixo de centena;

- Unidade de milhar embaixo de unidade de milhar, etc.

SUBTRAÇÃO

É a operação de tiraruma quantidade maior de outra menor

- O sinal da subtração é o -

- O minuendo e o subtraendosão os termos da subtração

- O resto ou diferençaé o resultado da subtração

- O 235 é o minuendo

- O 124 é o subtraendo

- O 111 é o resto ou diferença

Não esquecer:

- O minuendo tem de ser sempre maior ou igual ao subtraendo

- A subtração é a operação inversa da adição

- Assim como na adição, coloca-se unidade embaixo de unidade, etc.

MULTIPLICAÇÃO

É a operação de juntar váriasquantidades iguais

- O sinal da multiplicação é o x

- Os termos da multiplicação são os fatores

- Oproduto é o resultado da multiplicação

- O 12 é fator

- O 3 é fator

- O 36 é o produto

Não esquecer:

- O produto de qualquer número por zero é igual a zero

 

DIVISÃO

É a operação de repartiruma quantidade em quantidades iguais

 

- O sinal da divisão é o :

- O dividendo e o divisorsão os termos da divisão

- Quociente é o resultado da divisão

- Resto é o que sobra da divisão

- O 37 é o dividendo

- O12 é o divisor

- O 3 é o quociente

- O resto dessa divisão é 1

 

Não esquecer:

- A divisão é a operação inversa da multiplicação

- Divisão exata é aquela em que o resto é zero

- Divisão inexata é aquela em que o resto é diferente de zero

PROVA REAL

Prova Real da adição e subtração:

A adição e a subtração são operações inversas, observe:

235 + 124 = 359 então 359 – 124 = 235 e 359 - 235 = 124

235 – 124 = 111 então 111 + 124 = 235

A soma ou total menos uma das parcelas é sempre igual à outra parcela (prova real da adição)

O resto ou diferença mais o subtraendo é sempre igual ao minuendo (prova real da subtração)

Prova Real da multiplicação e divisão:

A multiplicação e a divisão são operações inversas, observe:

8 x 3 = 24 então 24 : 3 = 8 ou 24 : 8 = 3

36 : 4 = 9 então 9 x 4 = 36

37 : 3 = 12 com resto = 1 então 12 x 3 + 1 = 37

Dividindo o produto por um dos fatores encontramos o outro fator (prova real da multiplicação)

Multiplicando o quociente pelo divisor encontramos o dividendo (prova real da divisão exata)

Multiplicando o quociente pelo divisor e somando o resto a esse produto encontramos o dividendo ( prova real da divisão inexata).